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Formale Entwicklung

Definition der Superial-Zahlen und ihrer Untermengen


Die Definition der Superial-Zahlen kann auf verschiedene Weise erfolgen. Ich habe mich dafür entschieden dies auf eine Weise zu tun, die sicher stellt, dass möglichst große Teilmengen von ihnen als , als und als definiert werden können.

Definition der superialen Einheit s

Es lassen sich mindestens zwei geometrische Konstruktionen finden, die der folgenden Definition von s über das unendliche Primzahlprodukt aus der Einleitung äquivalent sind:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { s\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \prod_{\forall n \in \mathbb{N}} \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right) } \] (SN.Ein.12)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm} s\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{\omega} } \] (SN.Ein.14)

Die erste der folgenden Konstruktionen geht ins aktual unendlich Große und die zweite ins aktual unendlich Kleine. Beide definieren s jedoch auf etwas unterschiedliche Weise:

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Rhythmische Wiederholung auf Basis natürlicher Zahlen
Abbildung 1 New window: Die Grafik zeigt, wie durch den Zusammenfall aller Rhythmen der natürlichen Zahlen, von der Eins an bis ins Unendliche, die superiale Basis s konstruiert wird.

Definition von s über den Wiederholungsrhythmus der natürlichen Zahlen
In der geometrischen Konstruktion der rhythmischen Wiederholung bleiben die Begrenzungspunkte der Teilstrecken immer im selben Abstand von Eins. Am jeweiligen Ende der Punktreihe werden stets die nötigen Punkte angehängt, um den Rhythmus der nächsten natürlichen Zahl zu integrieren, wenn er noch nicht enthalten sein sollte (siehe ).

Rhythmische Zerlegung der Eins durch natürliche Zahlen
Abbildung 2 New window: Die Grafik zeigt, wie durch die Projektion der Begrenzungspunkte aller regelmäßigen natürlichzahligen Teilstrecken auf die Einheitsstrecke, von der Eins an bis ins Unendliche, und durch das Interpolieren ihrer Begrenzungspunkte zu einem gleichmäßigen Rhythmus, nach und nach als Abstand zwischen den Punkten die superiale Zahl s−1 konstruiert wird. Als Begrenzungspunktanzahl, ohne die Eins, oder als Anzahl der Teilstrecken ergibt sich die superiale Basis s.

Definition von s-1 über den Regen der natürlichen Zahlen
In der Konstruktion der rhythmischen Zerlegung werden zwischen den vorhandenen Begrenzungspunkte der Teilstrecken immer neue Punkte hinzugefügt, um den Rhythmus der hinzukommenden natürlichen Zahl in einem gleichmäßigen Rhythmus zu integrieren, falls er noch nicht vorhanden ist (siehe ).

Dies ist, als wenn ein Regen von natürlichen Zahlen auf der Strecke der Eins hernieder gehen würde.

Explizite Anschauung des Primzahlprodukts von s
Für das Primzahlprodukt von s ergibt sich in beiden Fällen eine mit unendlich mal unendlich vielen Primzahlen gefüllte Fläche der folgenden Art:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm} s\;\;\;=\;\;\;(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{1} \\ \qquad\qquad\quad\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{2} \\ \qquad\qquad\quad\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{3} \\ \qquad\qquad\quad\; \;\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\quad\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{\forall n \in \mathbb{N}} \\ \qquad\qquad\quad\; \;\;\;\; \vdots } \] (SN.Ein.1)

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Polynom-Definition der Menge der Superial-Zahlen S

Um zu gewährleisten, dass die ganzen und die natürlichen Superial-Zahlen möglichst große Teilmengen im Verhältnis zur Menge S aller Superial-Zahlen sind, können die Koeffizienten der Potenzen der superialen Basis s als rationale Zahlen aus Q definiert werden:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}\;\;\;≔\;\;\;\left\{ x ~\middle|~ \left( \forall d \in \mathbb{Z} \right) \left( \forall q_{d} \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} \right) \left( \forall q_{i} \in \mathbb{Q} \right) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \left[ q_{d} s^{d} + \sum_{( \forall i \in \mathbb{Z})[d > i]} q_{i} s^{i} \right] \right\} } \] (SN.Ent.2)

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Ganze Superial-Zahlen

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Notizen

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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}_{Z}\;\;\;≔\;\;\;\left\{ x ~\middle|~ \left( \forall d \in \mathbb{N} \right) \left( \forall q_{d} \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} \right) \left( \forall q_{i} \in \mathbb{Q} \right) \left( \forall z \in \mathbb{Z} \right) \\ \qquad\qquad\quad \left[ \begin{cases} z & \text{ falls } d = 0 \\ q_{d} s^{d} + \sum_{( \forall i \in \mathbb{Z})[d > i > 0]} q_{i} s^{i} + z & \text{ falls } d > 0 \end{cases} \right] \right\} } \] (SN.Z.1)

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Natürliche Superial-Zahlen

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Notizen

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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}_{N}\;\;\;≔\;\;\;\left\{ x ~\middle|~ \left( \forall x \in \mathbb{S}_{Z} \right) \left[ x \geq 0 \right] \right\} } \] (SN.N.1)

Schreiben wir dies in einer ausführlicheren Definition, wie bei den ganzen Superial-Zahlen, dann wird es etwas transparenter:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm} \mathbb{S}_{N}\;\;\;≔\;\;\;\left\{ x ~\middle|~ \left( \forall d \in \mathbb{N} \right) \left( \forall q_{d} \in \mathbb{Q} > 0 \right) \left( \forall q_{i} \in \mathbb{Q} \right) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left( \forall z \in \mathbb{Z} \right) \\ \qquad\qquad\qquad \left[ \begin{cases} n & \text{ falls } d = 0 \\ q_{d} s^{d} + \sum_{( \forall i \in \mathbb{Z})[d > i > 0]} q_{i} s^{i} + z & \text{ falls } d > 0 \end{cases} \right] \right\} } \] (SN.N.2)

Für den Fall, dass d = 0 ist, es sich also um endliche Zahlen handelt, bleiben nur endliche natürliche Zahlen über.

Für d > 0, den Fall, dass es sich um aktualunendlich große natürliche Zahlen handelt, entspricht die Definition der von positiven ganzen Superial-Zahlen. Dies ist dadurch bestimmt, dass der Koeffizient qd der größten Potenz sd positiv sein muss. XXX XXX XXX XXX XXX XXX XXX

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Notizen

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Stand 03. Oktober 2020, 20:00 CET.


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