Einleitung

Erweiterung der Mengenlehre durch Antimengen auf das integrierte Mengenuniversum

←   Einleitung

Um wohldefiniert mit Biordinalzahlen mit der uns bekannten Mengenlehre(Verweis) arbeiten zu können bedarf es einer Definition, mit was für Objekten wir es hier zu tun haben und einer Erweiterung der Mengenlehre auf all diese Objekte.

Wenn wir negative Zahlen, wie oben, durch das Fehlen von Mengen an der Klasse(Verweis) des Mengenuniversums \( \mathbb{U} \) definieren, dann bedeutet dies, dass wir das Universum der „normalen“ Mengen verlassen. Denn die Klasse des Mengenuniversums, an der unterschiedliche Kombinationen an Mengen fehlen, sind selber auch keine Mengen, sondern ebenfalls Klassen.

Wir können allerdings sagen, dass es sich hierbei um eine besondere Klasse von Klassen handelt: Wir nennen nun eine Klasse, bei der am Mengenuniversum alle Mengen in einer nicht leeren Menge \( a \) fehlen, ihre Antimenge \( a^– \). Ebenso nennen wir die Klasse, die alle Antimengen enthält, das Antimengenuniversum \( \mathbb{U}^- \). Zuletzt nennen wir die Klasse, die alle Mengen sowie alle Antimengen enthält das integrierte Mengenuniversum \( \mathbb{U}^i \).

Sei, abgeleitet von Formel ,

die Definition der Antimenge zu jeder Menge \( a \), die nicht leer ist. Es existiert dabei keine Definition der Antimenge zur leeren Menge:

Die leere Menge ist hier ausgeschlossen, weil ihre Antimenge das Mengenuniversum \( \mathbb{U} \) selber wäre, was zu einem Widerspruch führen würde, den wir gleich noch herausarbeiten. Für die leere Menge ist also keine Antimenge definiert.

So ergibt sich

als Definition des Antimengenuniversums.

Das Mengenuniversum und das Antimengenuniversum überschneiden sich nicht

und beide zusammen

ergeben das integrierte Mengenuniversum.

Hier sehen wir auch, dass, ohne Ausschluss der leeren Menge bei der Definition der Antimengen (siehe Formel ), das Antimengenuniversum 𝕌 – widersprüchlicher Weise das Mengenuniversum 𝕌 enthalten würde, obwohl sich beide zum integrierten Mengenuniversum 𝕌 i ergänzen sollen.

So können wir jetzt eine allgemeine Definition der Negierung von integrierten Mengen angeben.

Für die Negation einer integrierten Menge gilt also:

Alle negierten integrierten Mengen sind wieder integrierte Mengen:

XXX.

XXX XXX XXX XXX XXX XXX XXX

→  

Was wir wohl nicht sehen

←  

Was geht beim Arbeiten mit Mengen implizit vor sich, was wir wohl nicht sehen, was uns nicht bewusst ist?

Wir wollen dies hier vor allem ontologisch betrachten, also die Lehre von Seienden betreffend.(Verweis) Seiend auch besonders im Sinne von Struktur und hier von verborgener Struktur.

Ontologische Funktion unseres Fokus
Der Auswahldualismus oder Bewusstseinsdualismus

Die vorgestellte Methode zur Darstellung negativer Zahlen durch Mengen oder besser gesagt durch macht deutlich, dass eine Menge eine Auswahl aus den Möglichkeiten und eine Antimenge beziehungsweise negative Menge die Nichtauswahl aus den Möglichkeiten darstellt. Bei der Nichtauswahl aus den Möglichkeiten bleiben dann alle anderen Möglichkeiten ausgewählt. Symbolisch wird durch die Klammer, die etwas enthält, eine Auswahl getroffen, die diese vom Rest der Auswahlmöglichkeiten abgrenzt, die Auswahl umhüllt.

Implizit haben wir es oben also immer mit der Menge der natürliche Zahlen ℕ zu tun. Die Auswahl befindet sich in der Menge- oder Auswahl-Klammer oder Auswahl-Hülle und der Rest unsichtbar außerhalb dieser. Unsere Betrachtung behandelt also immer die Menge ℕ, die in zwei Teile zerlegt ist: Einen Teil, auf den wir fokussierten – der bewusste Teil – und einen Teil, den wir ausblenden – der unbewusste Teil. Naturphilosophisch gesehen, haben wir es mit einem Dualismus beziehungsweise einer Polarität zu tun, dem Auswahldualismus oder Bewusstseinsdualismus.

Noch näher betrachtet handelt es sich beim Auswahl- oder Bewusstseinsdualismus um einen fraktalen Dualismus. Denn zunächst wählen wir die Menge ℕ, nehmen sie in unseren Fokus und blenden damit alles andere was existiert aus. Anschließend gehen wir in diese Menge und wählen in ihr wieder einen Teil aus, den wir nun in den näheren Fokus nehmen und damit alle anderen Elemente in ℕ ausblenden. Wir haben dann also schon vier Fraktalebenen: Alles was existiert, darin die Menge ℕ, darin alle Elemente in dieser Menge und dann darin die Teilmenge der Elemente, die wir letztendlich aus den Elementen in ℕ ausgewählt haben.

Eine Invertierung oder Vertauschung des Fokus auf die bewussten und unbewussten Elemente aller beteiligten Ebenen nutzen wir nun zur Darstellung negativer Zahlen.

Wählen wir eine einzige Ordinalzahl, beispielsweise die 2, dann läuft dies in folgenden Schritten auf diesen Ebenen ab:

Dann fokussieren wir uns eigentlich auf eine Auswahl-Menge, die die ausgewählte Zahl enthält, hier durch zwei neue Klammern mit Pfeilen nach innen symbolisiert:

Um die Menge mit unserer Auswahl aus ℕ herum befinden sich ja implizit alle Zahlen, die wir nicht aus ℕ ausgewählt haben, denn wir haben ja zum Ausdruck gebracht, dass wir uns mit den Elementen in ℕ beschäftigen:

Und dort existieren natürlich auch alle restlichen Mengen, die es in 𝕌 noch gibt:

Wenn wir unseren Fokus von der 2 zu allen anderen wechseln, dann sollte dies -2 ergeben, denn die 2 fehlt ja nun, und sieht folgendermaßen aus

was zu zeigen war.

Wir sehen hieran, dass die Berücksichtigung des impliziten beziehungsweise unbewussten Vorgehens beim Fokussierungsprozess verdeutlicht, was eigentlich im „Verborgenen“ vor sich geht. Der fraktale Auswahl- oder Bewusstseinsdualismus hilft uns, dies zu verstehen, und zeigt, dass die gewählte Darstellung der negativen Zahlen durch Antimengen eine bedeutende Beziehung zum Realen hat, also zu realen Vorgängen im Verborgenen.

Die Zuordnung der Werte zur ontologischen Struktur führt zu einer naturphilosophisch sehr interessanten , die wir später näher betrachten werden.

Ontologische Aussagenlogik

In Bezug auf negative Zahlen führt die Vorstellung generell zur Verwirrung, dass die Null ja das Nichts repräsentiert, und negative Zahlen dann ja noch weniger als das Nichts wären. So etwas könne es doch nicht geben, denken wir spontan, und ich meine auch begründet. Ontologisch, also vom Seienden aus, betrachtet kann es nicht weniger geben, als das es nichts gibt.

Was wir nicht so einfach bemerken, salopp formuliert, nicht auf der Reihe haben, ist, dass es immer implizit um das Meer der Möglichkeiten geht, aus denen wir etwas auswählen. Auf Aussagenlogik bezogen und am Beispiel von Mengen ausgedrückt, sind die leere Menge und alle Möglichkeiten sehr nahe beieinander liegend.

Denn haben wir alle Möglichkeiten gleichwertig, dann können wir uns nicht für eine entscheiden, weil keine zur Auswahl heraussticht. Das erscheint so gesehen sehr ähnlich, als hätten wir keine Möglichkeit.

Vergleichbar ist auch die folgende Aussage:

Wem gehört das Wissen der Welt?
Allen und damit keinem.

Aus dieser Perspektive ist ›allen‹ und ›keinem‹ im Grunde identisch, weil es um die Differenz der Besitzenden untereinander geht, die in beiden Fällen gleich ist.

In beiden Fällen geht es quasi um ein „Kräftegleichgewicht“, dass zu einer Entscheidung führen kann. Alle Möglichkeiten zu haben, ist vollständige Harmonie und ein Ausgleich der „Kräfte“, ebenso wie keine Möglichkeiten zu haben.

In der Konstruktion der Zahlen gibt es aber einen Unterschied, denn wir wollen Eindeutigkeit. Und alle Möglichkeiten nutzen wir schon dazu, den Rahmen der Dinge zu bestimmen, von denen wir ausgehen, dass sie möglich sind. So bleibt nur die leere Menge, um auszudrücken, dass die Auswahlmöglichkeiten ausgeglichen sind.

Aber wir haben, ausgehend von beiden gleichwertigen Gleichgewichten, auf diese Weise zwei Möglichkeiten eine Auswahl zu bestimmen: Ein Mal, indem wir aus allen Möglichkeiten „wenige“ auswählen, und ein Mal, indem wir aus allen Möglichkeiten „wenige“ weglassen und damit den Rest auswählen. Beides macht einen erheblichen Unterschied und versetzt uns in die Lage, plausibel und logisch sinnvoll Gewähltes als Positives und Weggelassenes als Negatives zu differenzieren.

Ontologie der Polarität
Polarität bringt etwas zur Existenz und zur Wirkung

Durch die Auswahl oder das Weglassen von Dingen aus allen Möglichkeiten entsteht eine Polarität, die etwas zur stabilen Existenz bringt. Es ist ein Symmetriebruch, der die neutrale Harmonie stört, der zu „Kräften“ führt, ganz wie in der Physik, und die so erschaffenen Dinge in Prozessen begreifbar, greifbar und handhabbar macht.

Unsere Existenz durch eine stabile und sich entwickelnde Psychosomatik
Wir sind in einen Dialog zwischen unserem Bewusstsein und unserem Unterbewusstsein verwickelt

Unsere Überlegungen haben durchaus eine tiefe Verbindung zu unserem Leben. Auch, wenn es einem als Mensch der heutigen „modernen“ Zeit erstaunlich erscheinen kann, dass wir aus dieser bedeutenden mathematisch-naturphilosophischen Sicht an die Wurzeln des Lebens gelangen.

Denn aus meinem Verständnis heraus basiert unser Leben, unsere Psyche und Psychosomatik, auch auf unserem inneren Dialog zwischen Bewusstsein und Unterbewusstsein. Dieser Dialog ist unter anderem durch unseren Fokus bestimmt und dadurch ob gerade unser Bewusstsein, im Wachzustand, oder unser Unterbewusstsein, im Schlaf, im Vordergrund ist.

Durch die vorangegangenen Überlegungen lernen wir mehr darüber, wie unser Fokus funktioniert und welche Aspekte und Ebenen er hat. Und darüber, wie unser Fokus mit Antimengen und negativen Zahlen verbunden ist, lernen wir unser Bewusstsein und Unterbewusstsein besser zu verstehen.

→  

Die ontologische Struktur beinhaltet die Zählrichtung

←  

Wir können durch das Vorstehende erkennen, dass aus ontologischer Sicht die Null – die leere Menge –, aufgrund des Ausgangs vom Zählen, zu den positiven Zahlen gehört, und dadurch die natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \), einschließlich der Null, bildet.

Eine fundamentale Asymmetrie
Die ontologische Struktur der Zahlen beinhaltet die Zählrichtung

Interessanterweise ergibt sich so, dass es eine negative Zahl mehr gibt als positive Zahlen, ohne die Null. Wie kann das sein?

Ontologische Begründung
Aus ontologischer Sicht, also aus Sicht der Struktur des Seins oder die Realität betreffend, hat mir mein Freund Raimund Welsch nahegelegt: Begreifen wir jede nach oben gezählten Abstand Eins als Welle – oder alternativ als Sägezahn, wie ich es selber schon früher gedacht hab – dann fängt jede dieser Wellen bei einer ganzen Zahl an. Die darauf folgende nächste ganze Zahl ist schon der Beginn der nächsten Welle und gehört nicht mehr zu der, die wir gerade gezählt haben.

Die nullte Welle oder der nullte Zahn beginnt also bei der Null und endet vor der Eins.

Abbildung 1 : Es erscheint zunächst erstaunlich, dass die Symmetrie der Existenz der endlichen ganzen Zahlen bei –½ liegt. Wenn wir etwas über die Struktur der Zahlen und damit des Zählens, auch mit Hilfe der Biordinalzahlen, nachdenken, was ich in der Grafik verbildlicht habe, dann erscheint dies doch in sich plausibel. Denn die Null gehört strukturell zu den positiven Zahlen und aus denen entstehen dann die negativen durch Verschiebung. Diese Asymmetrie spielt vermutlich unter anderem in der Riemannschen Vermutung eine Rolle, wie ich noch ergründen werde.

Würden wir die natürlichen Zahlen einfach an der Null spiegeln, um die negativen ganzen Zahlen zu erhalten, dann hätten wir die Null doppelt in der Struktur; eine gehörte zu den positiven und eine zu den negativen Zahlen, was nicht eindeutig wäre. Auch würde sich in den negativen ganzen Zahlen die Zählrichtung umkehren und dadurch könnten wir die negativen Zahlen nicht mehr in ihrer Struktur von den positiven Zahlen unterscheiden. Denn das scheinbare Rückwärtszählen wäre ja doch in Wirklichkeit so auch ein Vorwärtszählen. Beide Zahlentypen wären identisch, was ontologisch keinen Sinn ergibt.

Sinn erhalten wir, wenn wir erkennen, dass die negativen ganzen Zahlen aus den verschobenen natürlichen Zahlen entstehen, unter Erhalt der Zählrichtung, durch Welle oder Zahn verdeutlicht (siehe ). Während also der auf die negative Seite verschobene Nullpunkt eine negative Zahl repräsentiert, nämlich die minus Eins, repräsentiert der originale Nullpunkt keine positive Zahl, sondern die Null selber. Die Vollständigkeit der negativen und damit aller ganzen Zahlen entsteht dadurch, dass wir durch vollständige Induktion alle natürlichen Zahlen ins negative verschieben.

Ontologisch betrachtet sind negative Zahlen also nicht die inklusive der Zählrichtung an der Null gespiegelten natürlichen oder alternativ nur positiven Zahlen. Sondern es handelt sich strukturell um eine Verschiebung, die die Zählrichtung beibehält und nicht spiegelt, wohingegen die repräsentierten Werte an der Null gespiegelt sind.

Wir erkennen: Auch, wenn wir nur auf die , schwingt das ontologisch implizite Vorhandensein, die Existenz, der Zwischenräume zwischen den ganzen Zahlen und wie diese mit ihnen verbunden sind, mit. Denn die Intervalle der Zwischenräume, die an den ganzen Zahlen in Zählrichtung hängen, sind der Grund für die Zahlenwert-Symmetrie, die sich an der Null spiegelt.

Kombinatorische Begründung
Schauen wir uns hier noch einmal die oben stehenden Formeln und an:

Wir können am Übergang von zu sehen, dass wir so viele endliche Zahlen am Mengenuniversum weglassen können, wie es von ihnen gibt: derer in der Anzahl ω existieren, nämlich ein Mal die vollständige Induktion der natürlichen Zahlen. Jede dieser zusätzlich weggelassenen endlichen Zahlen steht für jeweils eine negative ganze Zahl.

Demnach gibt es also genau so viele negative ganze Zahlen, wie positive ganze Zahlen mit der Null existieren. Und diese kombinatorische Anzahl wird in -ω ausgedrückt und ihr absoluter Wert ist eben ω. Also gibt es auch aus dieser Perspektive eine negative ganze Zahl mehr, als es positive ohne die Null gibt.

Formulierung der Entstehung der negativen ganzen Zahlen durch Rückwärtszählen, ohne Umkehrung der Zählrichtung
Um auszudrücken, wie jede negative ganze Zahl jeweils aus einer natürlichen Zahl entsteht, berücksichtigen wir im Ansatz die oben entwickelte, ontologische Vorstellung, dass es sich bei Zahlen quasi um Wellen – oder Sägezähne – von einer Zahl zur nächsten handelt. Diese Wellen hängen in Zählrichtung an den Zahlen.

Die negativen Zahlen entstehen also nicht durch eine Spiegelung dieser Wellen, sondern durch deren Verschiebung. Und dies soll sich in der ersten Struktur der Formulierung ausdrücken:

Die Intervalle, die zwischen den Zahlen liegen, hängen an der vorstehenden ganzen Zahl und werden auf diese Weise mit verschoben, was wir bei den Superial-Zahl noch expliziter erkennen können. Daher steht quasi am „Beginn“ der endlichen negativen ganzen Zahlen auch der Punkt einer ganzen Zahl, was eben der Grund dafür ist, dass es eine endliche negative ganze Zahl mehr geben muss, als positive, ohne die Null. Denn das Zählen ist die Grundlage aller Zahlen.

Wenn wir die Verschiebung vereinfachend umformen:

Dann entsteht der Eindruck einer Spiegelung.

Anzahl der endlichen ganzen Zahlen
So kommen wir zu Aussagen über die Anzahl der ganzen endlichen Zahlen:

Sei # das Symbol für den Operator, der die Anzahl der Elemente einer Menge liefert, so gilt, auch wegen der oben definierten Gleichsetzung von Anzahlen und deren entsprechenden Mengen

was damit gezeigt werden sollte.

Diese Aussagen sind durchaus bemerkenswert und führen uns zu einer fundamentalen und sehr spannenden Asymmetrie.

Daraus folgt eine prinzipielle Asymmetrie
Auf diese Weise ergibt sich innerhalb der endlichen, ganzen Zahlen eine prinzipielle und fundamentale Asymmetrie, die sich in der Summe über alle endlichen, ganzen Zahlen zeigt, weil jede negative ganze Zahl um minus Eins kleiner ist, als die natürlich Zahl, aus deren Verschiebung sie gebildet wird (siehe ):

In Worten ausgedrückt bedeutet dies:

Die Summe aller endlichen, ganzen Zahlen ist demnach der aktual unendliche Wert –ω und nicht 0 (Null), wie wir im Allgemeinen eher annehmen.

Der Wert –ω dieser Summe ist nur mit Biordinalzahlen ausdrückbar.

Das die Summe aller endlichen ganzen Zahlen negativ ist, dürfte den einen oder anderen erstaunen. Denn naiv neigen wir wohl zumeist dazu anzunehmen, dass sich alle endlichen ganzen Zahlen zu Null summieren, weil wir von einer Werte- und Zahlensymmetrie bei Null ausgehen. Das wirklich –ω die Summe aller endlichen ganzen Zahlen ist und ebenso auch 2ω die Anzahl aller endlichen ganzen Zahlen, bestätigt sich durch die plausible Herleitung der Integration auf Basis der Superial-Zahlen, wenn wir die dabei auftretenden aktual unendlichen Summen genauer untersuchen.

Der Mittelwert aller endlichen, ganzen Zahlen ergibt sich dann, wenn wir, wie üblich, die Summe durch die Anzahl ihrer Summanden teilen, zu:

In Worten ausgedrückt bedeutet dies:

Der Mittelwert aller endlichen, ganzen Zahlen ist demnach –½ und nicht 0 (Null), wie wir im Allgemeinen eher annehmen.

Das ist möglicherweise für den einen oder anderen eine überraschende Erkenntnis. Ich finde sie hochspannend.

Neue Einsichten zu positiven aktual unendlichen Biordinalzahlen

Wir können nun zu Aussagen kommen, die etwas über die Größe von ω verraten:

Subtrahieren wir eine beliebige endliche natürliche Zahl n von ω, ergibt sich niemals eine Zahl, die zur Menge der endlichen Zahlen gehört:

ω – n ist nicht in den natürlichen Zahlen ℕ, weil eine unendlich große Zahl ω minus einer endlichen Zahl n eine unendlich große Zahl bleibt. Dies ist offensichtlich und plausibel. Und eine unendlich große Zahl ist eben per Definition kein Element von ℕ.

In den Biordinalzahlen zeigt sich also eine riesige mit unendlich großen ganzen Zahlen gefüllte Lücke zwischen den endlichen natürlichen Zahlen und ω.

Hier sei gesagt, dass diese Lücke auch ein wesentlicher Grund dafür ist, dass die Primzahlprodukt-Vermutung wahr sein könnte. (Ist das wirklich eine Begründung? Die Lücke ist so groß nun auch wieder nicht, siehe unten. Außerdem geht es ja um den Wert von ω, der sich aus dem Produkt aller endlichen Primzahlen ergeben soll, und nicht darum, wieviele ganze Zahlen vor ω kommen.)

Diese Lücke hat eine wichtige Bedeutung.

Es gibt mehr ganze Zahlen von Null bis zu ω, als der Wert von ω ausdrückt
Eine Paradox erscheinende, bizarre Situation

Doch was ist geschehen? Und was bedeutet das?

Gehen wir noch einmal zurück zur Definition der Ordinalzahlen:

Die Ordinalzahlen sind so definiert, dass nach den endlichen natürlichen Zahlen gleich ω folgt:

Allerdings existiert ein Bereich, der nur analytisch durchleuchtet werden kann, weil er für die vollständige Induktion des Zählens steht. Dieser Bereich wird durch die Ellipse (Dreipunkte-Symbol) „\( \cdots \)“ ausgedrückt.

Nach der Definition der Ordinalzahlen kommen vor ω also genau so viele ganze Zahlen, wie die Anzahl ω. Denn das ist explizit so definiert.

Erweitern wir die Ordinalzahlen nun in Form der Biordinalzahlen zu einem Ring und führen damit die Subtraktion endlicher natürlicher Zahlen von ω ein, dann entstehen zwangsweise weiter ganze Zahlen zwischen der Ellipse und ω:

Eine ganz wesentliche und nicht ganz so einfach zu beantwortende Frage ist: Wieviele Zahlen sind nun vor ω zusätzlich neu entstanden?

Die Antwort darauf haben wir im Abschnitt ausführlich beleuchtet und eine plausible Antwort aus ontologischer und aus kombinatorischer Perspektive gefunden. Es kommen ω weitere Zahlen hinzu:

Wie wir erkennen können, liegen nun vor ω, mit der Null, dann 2 ⋅ ω ganze endlich und unendlich große Zahlen. Das erscheint ein wenig paradox.

Trotzdem ist die Erweiterung ontologisch erkenntnisreich, plausibel und sinnvoll, weil nützlich. Denn, wie wir noch sehen werden, können wir so überhaupt erst die Anzahl der Zahlen in bestimmten Mengen ausdrücken.

Eine größere Anzahl von Vorgängern, als eine Zahl groß ist, kennen wir schon von rationalen Zahlen
Bei den Biordinalzahlen haben wir es offenbar mit einer Mischform auf dem Weg zu den rationalen Zahlen zu tun.

Denn auch bei den rationalen Zahlen haben wir mehr Vorgänger, sagen wir beispielsweise vor der ½, als die Zahl groß ist. Mit der und nach der Null und vor der ½ liegen sogar unendlich viele rationale Zahlen. Nur handelt es sich nicht um ganze Zahlen, sondern die rationalen Zahlen liegen dicht(Verweis), während die Biordinalzahlen alle noch ganze Zahlen sind und noch nicht dicht liegen.

Bezug zu den Superial-Zahlen und zur Anzahl der rationalen Zahlen
Das vorstehende Ergebnis spielt bei der Analyse der Struktur der Superial-Zahlen und damit auch im Hinblick auf die Anzahl der rationalen Zahlen eine zentrale Rolle.

Bemerkenswerter Weise hat die superiale Basis s dann wieder genau so viele natürliche Vorgänger, wie sie selber groß ist.

Die Summe aller natürlichen Zahlen
So kommen wir mit den neuen Zahlen beispielsweise auch in die Lage, die Summe aller natürlichen Zahlen zu berechnen.

Für die Summe aller natürlicher Zahlen können wir die Gaußsche Summenformel benutzen, wen wir sie entsprechend anpassen:

Wandeln wir die Gaußsche Summenformel mit Hilfe der obigen Mengendefinitionen von Zahlen nun so ab, dass wir uns nicht auf das größte Element der Summe beziehen, sondern auf die Elemente, die zu summieren sind:

Ich gehe davon aus, dass dieser Zusammenhang ganz allgemein für alle endlichen und aktual unendlichen „natürlichen“ Zahlen gilt, die ich \( \mathbb{N}_\infty \) nenne. Diese Menge können wir mit Hilfe der Abrundung durch die Gaußklammer \( \lfloor x \rfloor \) zum Ausdruck bringen, die eine Zahl \( x \) auf die nächst kleinere ganze Zahl abrundet, wenn sie noch keine ganze Zahl ist:

So können wir von dort zur Summe aller endlichen natürlichen Zahlen übergehen

die wir ja errechnen wollten.

Auch diese Summe lässt sich nur mit den Biordinalzahlen ausdrücken.

Und sie setzt voraus, dass ω2 – ω gerade ist, also ganzzahlig durch Zwei geteilt werden kann. Das bedeutet, dass die Zwei als Faktor in beiden Summanden stecken muss. Folglich trägt ω den Primfaktor 2 in sich.

Weiterentwicklung zu den Superial-Zahlen
Die superiale Basis s hat s natürliche Superial-Zahlen als Vorgänger

Die Superial-Zahlen können in gewisser Hinsicht als Weiterentwicklung der Biordinalzahlen zu einer abelschen Gruppe bezüglich der Addition und Multiplikation verstanden werden und sie sind sogar ein angeordneter algebraischer Körper. Dies gilt in einem noch engeren Sinn, wenn sich die Primzahlprodukt-Vermutung als wahr herausstellen sollte.

Auch, wenn mir noch keine explizite Mengendarstellung der Superial-Zahlen bekannt ist, die der der Biordinalzahlen entspricht, so waren für mich die Superial-Zahlen und ihre Eigenschaft, dass die Subtraktion vollständig definiert ist, der Anlass zur Entwicklung der Biordinalzahlen aus den Ordinalzahlen, um die ontologische Struktur von aktual unendlichen Zahlen besser zu verstehen. Daher liegt es auf der Hand, deren Eigenschaften in Bezug auf ihre Vorgänger zu vergleichen.

Mit den Ordinalzahlen und den Biordinalzahlen befinden wir uns strukturell sozusagen am Sockel der Fraktalität des Aktual-Unendlichen. Dies erscheint mir ein Grund dafür, dass wir in bizarre und auch interessante, scheinbar paradoxe Situationen kommen.

Mit den Superial-Zahlen kommen wir dann quasi in die höheren Sphären der Fraktalität, was zur Folge hat, dass uns die Dinge wieder harmonischer erscheinen. Denn in den natürlichen Superial-Zahlen haben wir wieder so viele Vorgänger, wie der Wert einer bestimmten natürlichen Superial-Zahl groß ist.

→   Superial-Zahlen